Лизоркин, Пётр Иванович

В Википедии есть статьи о других людях с фамилией Лизоркин.

Лизоркин, Пётр Иванович (3 апреля 1922 — 20 сентября 1993) — советский математик, профессор, создатель теории пространств Лизоркина — Трибеля. Участник Великой Отечественной войны

Пётр Иванович Лизоркин
Файл:Лизоркин Пётр Иванович.jpg
Дата рождения	3 апреля 1922(1922-04-03)
Место рождения	Сасово, Тамбовская губерния, РСФСР
Дата смерти	20 сентября 1993(1993-09-20) (71 год)
Место смерти	Москва, Россия
Страна	СССР, Россия
Научная сфера	математика
Место работы	МИАН, МИФИ
Учёная степень	доктор физико-математических наук
Учёное звание	профессор
Научный руководитель	С. М. Никольский
Награды и премии

Биография

Уроженец села Сасово Елатомского уезда Тамбовской губернии, П. И. Лизоркин детство и юношеские годы прожил в Елатьме на Оке. После окончания средней школы он поступил на физико-математический факультет Воронежского Государственного Университета. Однако в 1940 году с первого курса Пётр Иванович был призван в армию и направлен в Харьковское Военно-авиационное училище. С началом Великой Отечественной войны училище эвакуируется в Красноярск.

Окончив училище в 1942 г. и пройдя дополнительную подготовку в Высшей школе штурманов и при лётном центре Авиации дальнего действия в г. Рыбинске, с 1943 г. П. И. Лизоркин служил на фронте в действующей армии. В качестве штурмана Авиации дальнего действия он сделал 120 успешных боевых вылетов в тыл врага и был награждён тремя орденами.

В мае 1944 года самолёт, в экипаже которого состоял П. И. Лизоркин, был сбит в глубоком тылу врага. Целый год Пётр Иванович провёл в немецких лагерях для военнопленных, затем, будучи освобождённым из плена незадолго до конца войны, прошёл длительную госпроверку и лишь в декабре 1945 года был демобилизован из армии.

В феврале 1946 года П. И. Лизоркин поступил на инженерно-физический факультет Московского Механического института (впоследствии преобразованного в Московский инженерно-физический институт). П. И. Лизоркин окончил его с отличием в 1951 году по специальности «теоретическая физика» и был рекомендован в аспирантуру по этой специальности; однако работать в этой области не позволили, вспомнили плен, сказался закрытый профиль института.

В 1951—1957 годах П. И. Лизоркин работал преподавателем кафедры высшей математики МИФИ, а в 1958 году поступил в аспирантуру и с этого времени работал в области математики. В 1961 году П. И. Лизоркин защитил кандидатскую диссертацию. В том же году его пригласили на работу в отдел теории функций Математического института АН СССР, где в 1969 году П. И. Лизоркин защитил докторскую диссертацию.

Работая в Математическом институте СССР, П. И. Лизоркин не порывал с педагогической деятельностью. В течение ряда лет он заведовал кафедрой высшей математики МИФИ, был профессором этой кафедры. В эти же годы в МИФИ началась фундаментальная перестройка преподаваемого курса высшей математики, введение в курсы элементов функционального анализа. Учебник П. И. Лизоркина «Курс дифференциальных и интегральных уравнений с дополнительными главами математического анализа» отражает опыт МИФИ в этом направлении, сокращая «разрыв между подготовкой выпускника ВУЗа и требованиями, с которыми ему приходится встречаться на практике».

П. И. Лизоркин был женат на Кузнецовой Валентине Алексеевне, преподавателе МИФИ, у них трое детей.

Научная деятельность

П. И. Лизоркиным получено окончательное решение задачи о естественном расширении пространств С. Л. Соболева на дробные индексы дифференцирования. Им было введено понятие обобщённой лиувиллевской производной и на его основе определены анизотропные классы бесселевых потенциалов Дальнейшее развитие этих работ привело к построению шкал пространств, известных в литературе как пространства Лизоркина-Трибеля. Петром Ивановичем была развита теория Фурье-мультипликаторов, обобщающая и дополняющая результаты Ю. Марцинкевича и С. Г. Михлина.

Большой цикл совместных работ С. М. Никольского и П. И. Лизоркина по теории краевых задач для эллиптических операторов с сильным вырождением на всей границе области сильно продвинул этот раздел теории дифференциальных уравнений. Они обнаружили, что корректная постановка задачи Дирихле для оператора порядка <math>2 r</math> требует задания на границе области не <math>r</math> условий, а меньшего их числа в зависимости от показателя вырождения оператора, разработали вариационные методы исследования первой краевой задачи, изучили свойства гладкости решений этой задачи в зависимости от гладкости коэффициентов и правой части уравнения.

В последние годы жизни П. И. Лизоркин занимался теорией приближений на однородных многообразиях.

Пространства Лизоркина-Трибеля

Пространства, получившие в научной среде название пространств Лизоркина-Трибеля, были введены П. И. Лизоркиным и затем более детально исследованы немецким математиком Хансом Трибелем.

Обозначим <math>S(R^n)</math> - пространство Шварца комплекснозначных быстроубывающих бесконечно дифференцируемых функций на <math>R^n</math>. Рассматривается совокупность <math>\Sigma(R^n)</math> всех систем функций <math>\sigma = \{\sigma_j(x)\}_{j=0}^\infty \subset S(R^n)</math>, таких что:

1. Носители функций из системы <math>\sigma</math> являются подмножествами следующих множеств: <math>\mathrm{supp}\ \sigma_0 \subset \{x \in R^n | \left|x\right| \le 2\}</math>, <math>\mathrm{supp}\ \sigma_j \subset \{x \in R^n | 2^{j-1} \le \left|x\right| \le 2^{j+1}\}</math>, <math>j = 1, 2, 3, \ldots</math>;
2. Для каждого мультииндекса <math>\alpha</math> существует положительное число <math>c_\alpha</math>, при котором <math>2^{j \left|\alpha\right|} \left|D^\alpha \sigma_j(x)\right| \le c_\alpha</math> для всех <math>j = 1, 2, 3, \ldots</math> и всех <math>x \in R^n</math>, где <math>\left|\alpha\right| = \alpha_1 + \alpha_2 + \ldots + \alpha_n</math>;
3. <math>\sum_{j=0}^\infty \sigma_j(x) = 1</math> для каждого <math>x \in R^n</math>.

Пространства Лизоркина–Трибеля <math>F_{p,q}^s (R^n)</math> определяются для <math>0 < p < \infty</math> следующим образом: <math>F_{p,q}^s (R^n) = \{ f | f \in S'(R^n),\ \left|\left|f | F_{p,q}^s (R^n)\right|\right| = (\int_{R^n}(\sum_{j=0}^\infty \left|2^{s j} F^{-1} \sigma_j F f(x)\right|)^q)^\frac{p}{q} dx)^\frac{1}{p} < \infty\}</math>.

Здесь для краткости <math>D^\alpha</math> обозначает оператор дифференцирования, берущий для всех <math>i = 1, 2, \ldots, n</math> частную <math>\alpha_i</math>-ю производную по <math>x_i</math>; <math>F</math> - оператор преобразования Фурье; а символом <math>S' (R^n)</math> обозначается множество всех умеренных распределений на <math>R^n</math>.

Принадлежность функции пространству Лизоркина-Трибеля означает представимость её в виде суммы атомарных функций, т.е. функций заданной гладкости с некоторым числом нулевых моментов, чьи преобразования Фурье также имеют фиксированную гладкость.

Теоремы, сформулированные П. И. Лизоркиным и Х. Трибелем, гарантировали существование разложения функции через атомарные функции, хотя и без описания способа его получения.

Области применения

Появление базисов <math>\{\sigma_j(x)\}</math>, по которым можно производить разложения функций, привело к существенному прогрессу в теории функциональных пространств. Базисы нашли широкое распространение от чисто математических проблем описания функциональных пространств до сугубо прикладных проблем цифровой обработки сигналов и изображений. Базисы всплесков находят всё большие применения в физике, астрономии, геофизике, медицине и других областях знаний. Причина такой популярности состоит в том, что всплески являются идеальным инструментом для адекватного представления нестационарных сигналов как с точки зрения глубинных свойств, важных в теории, так и с точки зрения существования для них экономичных численных алгоритмов.

Ссылки

• Лизоркин Пётр Иванович (неопр.)К:Википедия:Cite web (не указан язык). mathnet.ru. Дата обращения: 22 октября 2013.